Hranoly (n-boké) Siete · Objemy · Povrchy | Maximilian Boko
Definícia
Hranol je priestorové teleso ohraničené dvoma rovnobežnými kongruentnými \(n\)-uholníkmi (podstavami) a \(n\) bočnými stenami (obdĺžnikmi). Pravidelný \(n\)-boký hranol má podstavy v tvare pravidelného \(n\)-uholníka.
Základné vlastnosti
| Vlastnosť | Počet |
|---|---|
| Steny | \(n + 2\) |
| Hrany | \(3n\) |
| Vrcholy | \(2n\) |
02 3D Laboratórium
Upravte parametre hranola a sledujte, ako sa menia jeho rozmery, povrch a objem v reálnom čase. Ťahajte myšou (alebo prstom) na otáčanie modelu.
03 Sieť hranola
Čo je sieť telesa?
Sieť telesa je rozvinutie celého povrchu telesa do roviny. Ak sieť vystrihneme a zložíme späť, dostaneme pôvodné teleso. Sieť hranola sa skladá z dvoch podstáv (zhodné \(n\)-uholníky) a z obdĺžnikového pláštňa, ktorý sa rozbalí do jedného veľkého obdĺžnika s rozmermi \(o \times v\) (obvod podstavy × výška).
Stlačte tlačidlo nižšie a sledujte animáciu rozvinutia hranola do siete a späť:
04 Výpočet S a V
Povrch (\(S\))
Celkový povrch (\(S\)) je súčet obsahu všetkých plôch, ktoré ohraničujú teleso.
Hranol je zhora a zdola ohraničený dvoma zhodnými podstavami. Ich spoločný obsah je \(2 \cdot S_p\).
Zvyšok povrchu tvorí plášť s obsahom \(S_{pl}\).
Spojením týchto častí dostaneme univerzálny vzorec pre povrch akéhokoľvek hranola:
$$\boxed{S = 2 \cdot S_p + S_{pl}}$$
Všeobecný postup pre výpočet obsahu pravidelného \(n\)-uholníka. Rozdelíme ho na \(n\) rovnoramenných trojuholníkov so spoločným vrcholom v strede.
Každý z \(n\) trojuholníkov má základňu \(a\) (strana n-uholníka) a výšku \(r_a\) (apotéma – vzdialenosť od stredu k strane).
Pre pravouhlý trojuholník (polovica jedného z n dielikov):
$$r_a = \frac{a}{2\,\tan(\pi/n)} = \frac{a}{2} \cot\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$$
Obsah jedného trojuholníka:
$$S_\triangle = \frac{1}{2} \cdot a \cdot r_a = \frac{a^2}{4} \cot\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$$
Celkový obsah pravidelného \(n\)-uholníka:
$$\boxed{S_p = n \cdot S_\triangle = \frac{n\,a^2}{4}\,\cot\!\left(\frac{\pi}{n}\right)}$$
Plášť hranola tvorí súčet obsahov všetkých jeho bočných stien.
Pravidelný \(n\)-boký hranol má \(n\) rovnakých bočných stien. Každá stena je obdĺžnik so šírkou \(a\) a výškou \(v\).
Ak plášť "rozbalíme" do roviny, dostaneme jeden veľký obdĺžnik.
Šírka tohto veľkého obdĺžnika je rovná obvodu podstavy: \(O = n \cdot a\).
Celkový obsah plášťa vypočítame ako obvod podstavy \(\times\) výška telesa:
$$\boxed{S_{pl} = O \cdot v = n \cdot a \cdot v}$$
Objem (\(V\))
Objem (\(V\)) vyjadruje veľkosť priestoru, ktorý hranol vyplňuje.
Predstavte si podstavu hranola s obsahom \(S_p\) ako základnú vrstvu s minimálnou hrúbkou.
Objem získame, ak túto základnú plochu budeme "vrstviť" na seba kolmo nahor až do celkovej výšky telesa \(v\).
Univerzálny vzorec pre objem akéhokoľvek hranola je preto súčinom obsahu podstavy a výšky:
$$\boxed{V = S_p \cdot v}$$
Základné telesá
Pravidelné hranoly
05 Príklady
Najprv sa pokúste vyriešiť úlohu samostatne, potom odkrývajte riešenie po krokoch.
Kváder má rozmery \(a = 8\;\text{cm}\), \(b = 5\;\text{cm}\), \(c = 12\;\text{cm}\). Vypočítajte jeho objem a povrch.
Objem kvádra: \(V = a \cdot b \cdot c\)
\(V = 8 \cdot 5 \cdot 12 = \mathbf{480\;\text{cm}^3}\)
Povrch kvádra: \(S = 2(ab + ac + bc)\)
\(S = 2(8 \cdot 5 + 8 \cdot 12 + 5 \cdot 12)\)
\(S = 2(40 + 96 + 60) = 2 \cdot 196 = \mathbf{392\;\text{cm}^2}\)
\(V = 480\;\text{cm}^3, \quad S = 392\;\text{cm}^2\)
Pravidelný štvorboký hranol má hranu podstavy \(a = 6\;\text{cm}\) a výšku \(v = 10\;\text{cm}\). Nakreslite jeho sieť a vypočítajte povrch.
Sieť sa skladá z dvoch štvorcov (\(6 \times 6\;\text{cm}\)) a štyroch obdĺžnikov (\(6 \times 10\;\text{cm}\)), obdĺžniky sú poskladané vedľa seba do pásika \(24 \times 10\;\text{cm}\).
\(S_p = a^2 = 6^2 = 36\;\text{cm}^2\)
Obvod podstavy: \(o = 4a = 24\;\text{cm}\)
\(S_{pl} = o \cdot v = 24 \cdot 10 = 240\;\text{cm}^2\)
\(S = 2S_p + S_{pl} = 2 \cdot 36 + 240 = 72 + 240 = \mathbf{312\;\text{cm}^2}\)
\(S = 312\;\text{cm}^2\)
Pravidelný trojboký hranol má hranu podstavy \(a = 8\;\text{cm}\) a výšku \(v = 15\;\text{cm}\). Vypočítajte jeho objem a povrch.
Podstava je rovnostranný trojuholník so stranou \(a = 8\;\text{cm}\):
$$S_p = \frac{\sqrt{3}}{4}\,a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 64 = 16\sqrt{3} \approx 27{,}71\;\text{cm}^2$$
Obvod podstavy: \(o = 3a = 24\;\text{cm}\)
$$S_{pl} = o \cdot v = 24 \cdot 15 = 360\;\text{cm}^2$$
$$S = 2S_p + S_{pl} = 32\sqrt{3} + 360 \approx 55{,}42 + 360 = \mathbf{415{,}42\;\text{cm}^2}$$
$$V = S_p \cdot v = 16\sqrt{3} \cdot 15 = 240\sqrt{3} \approx \mathbf{415{,}69\;\text{cm}^3}$$
\(V = 240\sqrt{3} \approx 415{,}69\;\text{cm}^3, \quad S = 32\sqrt{3} + 360 \approx 415{,}42\;\text{cm}^2\)
Pravidelný šesťboký hranol má hranu podstavy \(a = 5\;\text{cm}\) a telesovú uhlopriečku \(u_t = 13\;\text{cm}\). Určte výšku hranola, jeho objem a povrch.
Najdlhšia uhlopriečka pravidelného šesťuholníka (prechádzajúca stredom) má dĺžku \(d = 2a\). V našom prípade: \(d = 2 \cdot 5 = 10\;\text{cm}\).
Telesová uhlopriečka hranola je prepona pravouhlého trojuholníka, ktorého odvesny sú uhlopriečka podstavy a výška hranola:
$$u_t^2 = d^2 + v^2$$
$$13^2 = 10^2 + v^2$$
$$169 = 100 + v^2$$
$$v^2 = 69 \quad\Rightarrow\quad v = \sqrt{69} \approx 8{,}31\;\text{cm}$$
$$S_p = \frac{3\sqrt{3}}{2}\,a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 25 = \frac{75\sqrt{3}}{2} \approx 64{,}95\;\text{cm}^2$$
$$V = S_p \cdot v = \frac{75\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{69} \approx 64{,}95 \cdot 8{,}307 \approx \mathbf{539{,}5\;\text{cm}^3}$$
Plášť: \(S_{pl} = 6a \cdot v = 30\sqrt{69} \approx 249{,}2\;\text{cm}^2\)
$$S = 2S_p + S_{pl} = 75\sqrt{3} + 30\sqrt{69} \approx 129{,}9 + 249{,}2 = \mathbf{379{,}1\;\text{cm}^2}$$
\(v = \sqrt{69} \approx 8{,}31\;\text{cm}\)
\(V \approx 539{,}5\;\text{cm}^3, \quad S \approx 379{,}1\;\text{cm}^2\)
07 História a zaujímavosti
Pojem hranola siaha k Eukleidovým Základom (okolo 300 pred n. l.), kde bol definovaný v Knihe XI. Staroveké civilizácie využívali hranolové tvary v architektúre – od mohutných kvádrovitých blokov egyptských stavieb pri Gíze po sofistikované kamenné hranoly v gréckom staviteľstve.
Dnes hranol dominuje modernej architektúre: mrakodrapy s pravouhlým pôdorysom sú kvádre, budovy s trojuholníkovým alebo šesťuholníkovým prierezom slúžia ako architektonické dominanty. Pravidelný šesťboký hranol sa objavuje v prírode – včelie bunky (plásty) tvoria šesťuholníkovú mriežku, a bežná ceruzka má prierez pravidelného šesťuholníka.